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周梦康 发表于 2020-10-29 139 次浏览

公式

牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。

场景

假如一辆车运行速度从慢到快,又从快到慢,速度的变化函数是
$$v=\frac{1}{5}t(10-t)$$
那么车在[0,10]s内行驶的距离是多远?
用黎曼积分的原理,我们可知,将10秒切分为n个片段,则可以认为每一个片段的速度是匀速,所以每一瞬间移动的距离之和就是总距离,用定积分公式表示
$$\int_{0}^{10} \frac{1}{5}t(10-t) \mathrm{d}t$$

那么有没有一个线性方程体现距离呢,两个变量一个是速度,一个是时间,而由上面方程我们知道,速度是根据时间变化的,所以距离的方程也是一个关于时间的一元方程,我们令这个方程为F(t)

同样,将该方程在[0,10]上切割为n个片段,n趋近于正无穷,那么,每一个片段距离的增量/时间的增量就是速度了。引用百科的图片 https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%BC%E6%95%B0/579188

高数补习班 牛顿-莱布尼茨公式的理解

$${f}'(x) = \lim_{\bigtriangleup x \to \infty} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to \infty} \frac{f(x) - f(x - \bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}$$

所以将时间微分之后,距离随时间变化(函数的导数)就是速度,而每个点的组成的函数就是函数1(速度函数)。
所以两个图都是对时间(横坐标)做微分,函数1中 y 是速度。需要求距离,就把所有的片段合起来之后是面积,而函数2(目前表达未知)y 就是距离,把所有的f'(t)*△x累计起来就是y本身的值。

函数2简单,直接传值进去就能得到结果,所以根据刚刚的结论,每个点的导数f'(t)就是速度随时间的变化函数,反推出

$$F(t) = t^{2}-\frac{t^{3}}{15}$$

数学上称 F(x) 为 f(x) 的原函数,有了原函数定积分就好算多了!

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